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基础简介1.模型的定义及更新

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2026/06/17
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大模型、深度学习、人工智能……这些词我们经常听到，但它们背后的核心是什么？答案是：神经网络。神经网络是现代 AI 的基础。从手机上的语音助手，到 AlphaGo 战胜围棋世界冠军，再到 ChatGPT 能写诗、编程、回答问题，背后都是神经网络在"思考"。那么，神经网络到底是什么？它是如何"学习"的？这篇文章将用一个生活中的例子——预测孩子身高，带你从零开始理解神经网络的核心概念：

  • 神经网络：一个由简单计算单元组成的"大脑"
  • 梯度：告诉模型"该往哪个方向调整"的信号
  • 反向传播：高效计算梯度的巧妙算法

不需要任何数学基础，让我们开始吧。

从身高预测开始

假设你想预测你未来孩子的身高。一个简单的想法是：孩子的身高和父母身高有关。于是你写出一个公式：

孩子身高=w1×父亲身高+w2×母亲身高\text{孩子身高} = w_1 \times \text{父亲身高} + w_2 \times \text{母亲身高}

这个公式就是一个线性函数。直觉上可以认为孩子的身高一半继承父亲，一半继承母亲，所以可以设 w1=0.5w_1 = 0.5，w2=0.5w_2 = 0.5，那么父亲178cm、母亲165cm的组合，预测孩子身高为 0.5×178+0.5×165=171.50.5 \times 178 + 0.5 \times 165 = 171.5cm。

这个简单的公式可以认为是一个模型，具体来说，这是一个单层神经网络。父亲身高、母亲身高是输入，孩子身高是输出，w1w_1、w2w_2 是模型的参数（也叫权重）。

线性不够，激活来凑

但你很快发现，实际情况没这么简单。父母身高高，孩子大概率高，但不是简单的线性倍数关系。身高的预测存在一个非线性的关系，使得下一代的身高回归平均水平，比如会一个"天花板"效应——父母都超高时，孩子不一定比父母更高。

线性函数 vs 非线性函数

于是我们需要引入激活函数，把线性计算的结果做一下非线性变换：

预测身高=f(w1×父亲身高+w2×母亲身高)\text{预测身高} = f(w_1 \times \text{父亲身高} + w_2 \times \text{母亲身高})

这里的ff 称为激活函数，它的作用是让模型能拟合更复杂的关系。大模型，深度学习里常用的激活函数有：Tanh（f(x)=tanh⁡(x)f(x) = \tanh(x)）、ReLU（f(x)=max⁡(0,x)f(x) = \max(0, x)）、Sigmoid（f(x)=11+e−xf(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}）等，深入了解可参考这里。

更多因素：多层网络

现实中的身高预测还要考虑更多因素。比如孩子的身高还和祖父母的身高有关。于是模型变得更复杂：

第一层：从祖父母身高预测父母身高

父亲身高=f(w11×爷爷身高+w12×奶奶身高)\text{父亲身高} = f(w_{11} \times \text{爷爷身高} + w_{12} \times \text{奶奶身高})

母亲身高=f(w13×外公身高+w14×外婆身高)\text{母亲身高} = f(w_{13} \times \text{外公身高} + w_{14} \times \text{外婆身高})

第二层：从父母身高预测孩子身高

孩子身高=f(w21×父亲身高+w22×母亲身高)\text{孩子身高} = f(w_{21} \times \text{父亲身高} + w_{22} \times \text{母亲身高})

这就是一个两层神经网络。每一层都有自己的参数，一层的输出作为下一层的输入。

神经网络结构

更一般地，一个 LL 层的神经网络可以写成：

h1=f(W1x)h_1 = f(W_1 x)

h2=f(W2h1)h_2 = f(W_2 h_1)

⋮\vdots

y^=f(WLhL−1)\hat{y} = f(W_L h_{L-1})

其中 xx 是输入向量，y^\hat{y} 是输出，W1,W2,…,WLW_1, W_2, \ldots, W_L 是每一层的参数矩阵。

如何调整参数：梯度下降

上面的网络有很多参数（w1,w2,W1,W2,…w_1, w_2, W_1, W_2, \ldots）。这些参数怎么确定呢？

核心思想：用已有数据来训练。比如你收集了1000个家庭的祖父母、父母、孩子身高数据。对每个家庭，计算预测值y^\hat{y}和真实值yy的差距（损失函数）：

L=12(y^−y)2\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2

然后想办法调整参数，让损失尽量小。那要怎么调整每个参数呢？直觉上，如果预测出来的值比真实值高，那么可以修改假设，认为孩子的身高不是继承一半父亲的身高，可以适当地减小w1w_1，然后进行下一轮的迭代调整。但在大模型中，参数量是数百万、数亿的，手动计算是不可能的。这时候就需要用到梯度。让参数沿着梯度，也就是使损失下降最快的方向调。具体来说，对每个参数 wiw_i，计算损失函数对它的偏导数 ∂L∂wi\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_i}，然后用下面的公式来更新参数：

wi←wi−η⋅∂L∂wiw_i \leftarrow w_i - \eta \cdot \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_i}

其中 η\eta 是学习率（步长大小）。调整的过程就叫梯度下降。

梯度是什么

梯度就是损失函数对每个参数的偏导数。它告诉你：如果稍微增加一点参数 wiw_i，损失会怎么变化。

举个直观的例子：你在山上，想最快下山。你看看四周哪个方向最陡（导数最大），就往那个方向走一步。梯度就是告诉你"哪个方向最陡"的那个量。

梯度下降可视化

对于身高预测的例子，如果 ∂L∂w1=5\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_1} = 5，意思是 w1w_1 太大会让预测误差变大，需要减小w1w_1 的值。如果 ∂L∂w1=−3\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_1} = -3，意思是 w1w_1 太小会让预测误差变大，需要增大w1w_1 的值。根据梯度正负，决定 w1w_1 该增大还是减小

反向传播：高效计算梯度

在多层网络中，参数可能有成千上万个。如果对每个参数都单独算导数，计算量会非常大。反向传播利用链式法则，从输出层开始，逐层往回算梯度。这是深度学习高效训练的关键。

6.1 用身高例子说明

假设我们有：

a=父亲身高=178a = \text{父亲身高} = 178

b=母亲身高=165b = \text{母亲身高} = 165

c=w1a+w2bc = w_1 a + w_2 b

y^=f(c)\hat{y} = f(c)

L=12(y^−y)2\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2

设 w1=0.5w_1 = 0.5，w2=0.5w_2 = 0.5，真实孩子身高 y=175y = 175，激活函数 f(x)=xf(x) = x（方便讲解，使用线性函数）。

前向传播：

  • c=0.5×178+0.5×165=171.5c = 0.5 \times 178 + 0.5 \times 165 = 171.5
  • y^=171.5\hat{y} = 171.5
  • L=12(171.5−175)2=7.225\mathcal{L} = \frac{1}{2}(171.5 - 175)^2 = 7.225

反向传播（从后往前算）：

  1. 损失对预测值的梯度：

    ∂L∂y^=y^−y=171.5−175=−3.5\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \hat{y}} = \hat{y} - y = 171.5 - 175 = -3.5

  2. 预测值对 cc 的梯度（假设 ff 是恒等函数，导数为1）：

    ∂y^∂c=1\frac{\partial \hat{y}}{\partial c} = 1

  3. 由链式法则，损失对 cc 的梯度：

    ∂L∂c=∂L∂y^⋅∂y^∂c=−3.5×1=−3.5\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \hat{y}} \cdot \frac{\partial \hat{y}}{\partial c} = -3.5 \times 1 = -3.5

  4. cc 对 w1w_1 的梯度：

    ∂c∂w1=a=178\frac{\partial c}{\partial w_1} = a = 178

  5. 由链式法则，损失对 w1w_1 的梯度：

    ∂L∂w1=∂L∂c⋅∂c∂w1=−3.5×178=−623\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_1} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \cdot \frac{\partial c}{\partial w_1} = -3.5 \times 178 = -623

  6. 类似地，损失对 w2w_2 的梯度：

    ∂L∂w2=−3.5×165=−577.5\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_2} = -3.5 \times 165 = -577.5

更新参数（设学习率 η=0.001\eta = 0.001）：

  • w1←0.5−0.001×(−623)=0.5623w_1 \leftarrow 0.5 - 0.001 \times (-623) = 0.5623
  • w2←0.5−0.001×(−577.5)=0.5578w_2 \leftarrow 0.5 - 0.001 \times (-577.5) = 0.5578

可以看到，w1w_1 和 w2w_2 都变大了，这意味着模型认为应该给父母身高更大的权重，以提高预测值。

各种运算的梯度

在实际神经网络中，会用到加、减、乘、除、激活函数等各种运算。下面逐一介绍它们的梯度计算和传播方式。

加法 c=a+bc = a + b

前向：c=a+bc = a + b

反向：∂c∂a=1\frac{\partial c}{\partial a} = 1 ; ∂c∂b=1\frac{\partial c}{\partial b} = 1

梯度直接传递给两个输入： ∂L∂a=∂L∂c×1=∂L∂c\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times 1 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} ; ∂L∂b=∂L∂c×1=∂L∂c\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times 1 = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}

特点：上层梯度直接复制到两个输入。

乘法 c=a×bc = a \times b

前向：c=a×bc = a \times b

反向：∂c∂a=b\frac{\partial c}{\partial a} = b ; ∂c∂b=a\frac{\partial c}{\partial b} = a

梯度传递：∂L∂a=∂L∂c×b\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times b ; ∂L∂b=∂L∂c×a\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times a

特点：乘法的梯度传递依赖另一个输入的值。

幂运算 c=abc = a^b

前向：c=abc = a^b

反向：∂c∂a=b⋅ab−1\frac{\partial c}{\partial a} = b \cdot a^{b-1} ; ∂c∂b=ab⋅ln⁡(a)\frac{\partial c}{\partial b} = a^b \cdot \ln(a)

梯度传递：∂L∂a=∂L∂c×b⋅ab−1\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times b \cdot a^{b-1} ; ∂L∂b=∂L∂c×ab⋅ln⁡(a)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times a^b \cdot \ln(a)

常用特例：c=a2c = a^2，∂L∂a=∂L∂c×2a\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times 2a

除法 c=abc = \frac{a}{b}

前向：c=abc = \frac{a}{b}

反向：∂c∂a=1b\frac{\partial c}{\partial a} = \frac{1}{b} ; ∂c∂b=−ab2\frac{\partial c}{\partial b} = -\frac{a}{b^2}

梯度传递：∂L∂a=∂L∂c×1b\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times \frac{1}{b} ; ∂L∂b=∂L∂c×(−ab2)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c} \times (-\frac{a}{b^2})

注意：除法对分母的梯度是负的，且当 bb 接近0时梯度会爆炸。

激活函数

激活函数对比

ReLU：f(x)=max⁡(0,x)f(x) = \max(0, x)

前向：y=max⁡(0,x)y = \max(0, x)

反向：dydx={1if x>00if x≤0\frac{dy}{dx} = \begin{cases} 1 & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x \leq 0 \end{cases}

梯度传递：∂L∂x=∂L∂y×{1if x>00if x≤0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \times \begin{cases} 1 & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x \leq 0 \end{cases}

特点：正区间梯度=1，直接传递；负区间梯度=0，被截断。

Sigmoid：f(x)=11+e−xf(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}

前向：y=11+e−xy = \frac{1}{1+e^{-x}}

反向：dydx=y(1−y)\frac{dy}{dx} = y(1-y)

梯度传递：∂L∂x=∂L∂y×y(1−y)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \times y(1-y)

特点：导数最大值为0.25，在饱和区（∣x∣|x| 很大时）梯度接近0。

Tanh：f(x)=tanh⁡(x)f(x) = \tanh(x)

前向：y=tanh⁡(x)y = \tanh(x)

反向：dydx=1−y2\frac{dy}{dx} = 1 - y^2

梯度传递：∂L∂x=∂L∂y×(1−y2)\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \times (1 - y^2)

求和 c=∑iaic = \sum_i a_i

前向：c=a1+a2+⋯+anc = a_1 + a_2 + \cdots + a_n

反向：∂c∂ai=1\frac{\partial c}{\partial a_i} = 1（对每个 ii）

梯度传递：每个输入得到相同的梯度。

取负 c=−ac = -a

前向：c=−ac = -a

反向：∂c∂a=−1\frac{\partial c}{\partial a} = -1

梯度传递：∂L∂a=−∂L∂c\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a} = -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c}

完整示例：一个小型神经网络

让我们用一个具体的例子，把上面的知识串起来。

网络结构：

  • 输入：x1=2x_1 = 2，x2=3x_2 = 3
  • 第一层：h1=w1x1+w2x2h_1 = w_1 x_1 + w_2 x_2，h2=w3x1+w4x2h_2 = w_3 x_1 + w_4 x_2
  • 激活：a1=ReLU(h1)a_1 = \text{ReLU}(h_1)，a2=ReLU(h2)a_2 = \text{ReLU}(h_2)
  • 输出：y^=w5a1+w6a2\hat{y} = w_5 a_1 + w_6 a_2
  • 损失：L=12(y^−y)2\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2，其中 y=10y = 10

参数初始化：w1=1,w2=1,w3=1,w4=1,w5=1,w6=1w_1=1, w_2=1, w_3=1, w_4=1, w_5=1, w_6=1

前向传播

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6
h_1 = w_1 x_1 + w_2 x_2 = 1×2 + 1×3 = 5
h_2 = w_3 x_1 + w_4 x_2 = 1×2 + 1×3 = 5
a_1 = ReLU(h_1) = ReLU(5) = 5
a_2 = ReLU(h_2) = ReLU(5) = 5
ŷ   = w_5 a_1 + w_6 a_2 = 1×5 + 1×5 = 10
L   = ½(ŷ - y)² = ½(10 - 10)² = 0

（这个例子损失为0，说明参数已经很完美了。我们换个真实值演示。）

用一个预测不准的例子演示

设 y=20y = 20（真实值），其他不变。

前向传播：

  • h1=5h_1 = 5，h2=5h_2 = 5
  • a1=5a_1 = 5，a2=5a_2 = 5
  • y^=10\hat{y} = 10
  • L=12(10−20)2=50\mathcal{L} = \frac{1}{2}(10 - 20)^2 = 50

反向传播：

  1. ∂L∂y^=y^−y=10−20=−10\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \hat{y}} = \hat{y} - y = 10 - 20 = -10

  2. ∂y^∂w5=a1=5\frac{\partial \hat{y}}{\partial w_5} = a_1 = 5，∂y^∂a1=w5=1\frac{\partial \hat{y}}{\partial a_1} = w_5 = 1

    • ∂L∂w5=−10×5=−50\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_5} = -10 \times 5 = -50
    • ∂L∂a1=−10×1=−10\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_1} = -10 \times 1 = -10

  3. ∂y^∂w6=a2=5\frac{\partial \hat{y}}{\partial w_6} = a_2 = 5，∂y^∂a2=w6=1\frac{\partial \hat{y}}{\partial a_2} = w_6 = 1

    • ∂L∂w6=−10×5=−50\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_6} = -10 \times 5 = -50
    • ∂L∂a2=−10×1=−10\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial a_2} = -10 \times 1 = -10

  4. ReLU反向：h1=5>0h_1 = 5 > 0，所以 ∂a1∂h1=1\frac{\partial a_1}{\partial h_1} = 1

    • ∂L∂h1=−10×1=−10\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_1} = -10 \times 1 = -10

  5. ReLU反向：h2=5>0h_2 = 5 > 0，所以 ∂a2∂h2=1\frac{\partial a_2}{\partial h_2} = 1

    • ∂L∂h2=−10×1=−10\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial h_2} = -10 \times 1 = -10

  6. ∂h1∂w1=x1=2\frac{\partial h_1}{\partial w_1} = x_1 = 2，∂h1∂w2=x2=3\frac{\partial h_1}{\partial w_2} = x_2 = 3

    • ∂L∂w1=−10×2=−20\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_1} = -10 \times 2 = -20
    • ∂L∂w2=−10×3=−30\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_2} = -10 \times 3 = -30

  7. ∂h2∂w3=x1=2\frac{\partial h_2}{\partial w_3} = x_1 = 2，∂h2∂w4=x2=3\frac{\partial h_2}{\partial w_4} = x_2 = 3

    • ∂L∂w3=−10×2=−20\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_3} = -10 \times 2 = -20
    • ∂L∂w4=−10×3=−30\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w_4} = -10 \times 3 = -30

更新参数（η=0.01\eta = 0.01）：

  • w1←1−0.01×(−20)=1.2w_1 \leftarrow 1 - 0.01 \times (-20) = 1.2
  • w2←1−0.01×(−30)=1.3w_2 \leftarrow 1 - 0.01 \times (-30) = 1.3
  • w3←1−0.01×(−20)=1.2w_3 \leftarrow 1 - 0.01 \times (-20) = 1.2
  • w4←1−0.01×(−30)=1.3w_4 \leftarrow 1 - 0.01 \times (-30) = 1.3
  • w5←1−0.01×(−50)=1.5w_5 \leftarrow 1 - 0.01 \times (-50) = 1.5
  • w6←1−0.01×(−50)=1.5w_6 \leftarrow 1 - 0.01 \times (-50) = 1.5

可以看到，所有权重都增大了，因为预测值10太小，需要增大权重来提高预测。

训练过程

自动微分：让计算机帮你算梯度

上面手算梯度很麻烦。实际中我们用自动微分（Automatic Differentiation），让计算机自动帮我们算。

核心思想：每个变量都记录自己的值和梯度，在做运算时自动应用链式法则。

Andrej Karpathy 的 micrograd 项目用约100行代码实现了这个功能：

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class Value:
    def __init__(self, data, _children=(), _op=''):
        self.data = data
        self.grad = 0
        self._backward = lambda: None
        self._prev = set(_children)
        self._op = _op

    def __add__(self, other):
        other = other if isinstance(other, Value) else Value(other)
        out = Value(self.data + other.data, (self, other), '+')

        def _backward():
            self.grad += out.grad
            other.grad += out.grad
        out._backward = _backward

        return out

    def __mul__(self, other):
        other = other if isinstance(other, Value) else Value(other)
        out = Value(self.data * other.data, (self, other), '*')

        def _backward():
            self.grad += other.data * out.grad
            other.grad += self.data * out.grad
        out._backward = _backward

        return out

    def backward(self):
        topo = []
        visited = set()
        def build_topo(v):
            if v not in visited:
                visited.add(v)
                for child in v._prev:
                    build_topo(child)
                topo.append(v)
        build_topo(self)

        self.grad = 1
        for v in reversed(topo):
            v._backward()

使用方式：

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a = Value(-2.0)
b = Value(3.0)
c = a + b
d = a * b
e = c * d

# 前向传播
e.data  # 3.0

# 反向传播
e.backward()

# 查看梯度
a.grad  # 9.0 (b*c = 3*3)
b.grad  # 5.0 (a+c = -2+1)

这个实现的关键是：

  1. 拓扑排序：确定计算顺序（从输出到输入）
  2. 局部梯度：每个运算定义自己的 _backward 函数
  3. 链式法则：在 _backward 中自动应用 ∂L∂x=∂L∂y⋅∂y∂x\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x}

总结

通过身高预测的例子，我们介绍了：

  1. 线性函数：最简单的模型 y=w1x1+w2x2y = w_1 x_1 + w_2 x_2
  2. 激活函数：引入非线性 y=f(wx)y = f(wx)
  3. 多层网络：组合多个层 y=f(W2f(W1x))y = f(W_2 f(W_1 x))
  4. 损失函数：衡量预测和真实的差距 L=12(y^−y)2\mathcal{L} = \frac{1}{2}(\hat{y} - y)^2
  5. 梯度下降：用梯度更新参数 w←w−η∂L∂ww \leftarrow w - \eta \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w}
  6. 反向传播：高效计算梯度的算法（链式法则）
  7. 各种运算的梯度：加、减、乘、除、激活函数等
  8. 自动微分：让计算机自动算梯度（如 micrograd）

这些是深度学习的基石。理解了这些，你就能理解 Transformer、大语言模型等更复杂的模型是如何训练的了。

参考资料

CATALOG
  1. 1. 从身高预测开始
  2. 2. 线性不够，激活来凑
  3. 3. 更多因素：多层网络
  4. 4. 如何调整参数：梯度下降
  5. 5. 梯度是什么
  6. 6. 反向传播：高效计算梯度
    1. 6.1. 6.1 用身高例子说明
  7. 7. 各种运算的梯度
    1. 7.1. 加法 c=a+bc = a + bc=a+b
    2. 7.2. 乘法 c=a×bc = a \times bc=a×b
    3. 7.3. 幂运算 c=abc = a^bc=ab
    4. 7.4. 除法 c=abc = \frac{a}{b}c=ba​
    5. 7.5. 激活函数
      1. 7.5.1. ReLU：f(x)=max⁡(0,x)f(x) = \max(0, x)f(x)=max(0,x)
      2. 7.5.2. Sigmoid：f(x)=11+e−xf(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}f(x)=1+e−x1​
      3. 7.5.3. Tanh：f(x)=tanh⁡(x)f(x) = \tanh(x)f(x)=tanh(x)
    6. 7.6. 求和 c=∑iaic = \sum_i a_ic=∑i​ai​
    7. 7.7. 取负 c=−ac = -ac=−a
  8. 8. 完整示例：一个小型神经网络
    1. 8.1. 前向传播
    2. 8.2. 用一个预测不准的例子演示
  9. 9. 自动微分：让计算机帮你算梯度
  10. 10. 总结
  11. 11. 参考资料
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